Numeri
I numeri possono essere raggruppati in due classi principali reali ed immaginari. I numeri reali comprendono i numeri naturali, i numeri relativi, quelli razionali, irrazionali e trascendentali.
 
Numeri naturali

Sono quelli che noi usiamo per contare (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6..… ), essi possono essere rappresentati su una semiretta con origine O su cui i numeri, da sinistra verso destra, sono disposti ad intervalli regolari.

 
Addizione
La somma di due numeri (ad esempio a = 2 e b = 3) corrisponde al numero che otteniamo partendo da a (2) e contando, da sinistra a destra, tante unita’ quante indicate da b (3). Il terzo numero dopo 2 e’ 5 e quindi la somma di a e b e’ 5. L’addizione e’ l’operazione che permette di calcolare la somma di due o piu numeri e viene indicata come segue:

a + b = c

a e b vengono detti addendi e c e’ la somma dei due addendi. Gli addendi possono assumere qualsiasi valore definito nell’insieme dei numeri naturali (interi e positivi) e la loro somma appartiene sempre all’insieme dei numeri naturali. Per l'addizione valgono le seguenti leggi:

Legge commutativa. La somma non dipende dall’ordine degli addendi.

11 + 5 + 3 = 3 + 11 + 5 = 11 + 3 + 5 = 19

Legge associativa. La somma non cambia se due o piu’ addendi sono raggruppati insieme:

(11 + 5) + 3 = 16 + 3 = 19

Legge dissociativa. E’ l’inverso della legge associativa.

16 + 3 = (11 + 5) + 3 = 19

 
Sottrazione

La differenza fra due numeri (ad esempio a = 2 e b = 3) e’ il numero che otteniamo partendo da 3 e andando indietro di tanti posti quanti indicati da b. Andando indietro di due posti troviamo il numero 1 che rappresenta la differenza fra a e b.

La sottrazione e’ l’operazione che permette di trovare la differenza fra due numeri e viene indicata come segue:

a - b = c

a e’ il minuendo, b e’ il sottraendo e c e’ la differenza. Dovrebbe essere evidente che la differenza fa due numeri e’ rappresentata da quel numero che sommato al sottraendo da come risultato il minuendo. Infatti considerando 20 - 5 = 15 abbiamo:

15 (la differenza) + 5 (il sottraendo) = 20 (il minuendo)

E’ importante sottolineare che la sottrazione, nell’ambito dei numeri naturali, e' possibile solo se a e' maggiore o uguale a . Consideriamo la seguente sottrazione in cui il sottraendo e’ maggiore del minuendo:

3 - 4

Per ottenere il risultato dovremmo andare al di la’ dell’origine della semiretta e quindi non e’ possibile fare la sottrazione (vedi numeri relatvi).

 
Moltiplicazione
Consideriamo la seguente addizione in cui tutti gli addendi sono uguali fra loro:

12 + 12 + 12 + 12 = 48

Questa addizione puo’ essere indicata in modo piu’ compatto come segue:

12 x 4 = 48

Questa e’ l’operazione di moltiplicazione. 12 e’ il moltiplicando e 4 il moltiplicatore (il numero di addendi). Il risultato della moltiplicazione viene detto prodotto. Moltiplicando e moltiplicatore vengono generalmente detti fattori della moltiplicazione. I fattori possono assumere qualsiasi valore nell’insieme dei numeri naturali ed il prodotto appartiene sempre all’insieme dei numeri naturali.

Legge commutativa. Il prodotto non cambia se si cambia l’ordine dei fattori:

12 x 4 = 4 x 12 = 48

Legge associativa. La somma non cambia se due o piu’ addendi sono raggruppati insieme:

3 x 4 x 5 = (3 x 4) x 5 = 12 x 5 = 60

Legge dissociativa. E’ l’inverso della legge associativa:

12 x 5 = 3 x 4 x 5 = 60

Legge distributiva. La moltiplicazione di un numero con una somma o con una differenza puo’ essere fatta moltiplicando il numero per ogni termine della somma o della differenza e poi eseguire l’addizione o la sottrazione:

(3 + 4) x 5 = (5 x 3) + (5 x 4) = 15 + 20 = 35

(4 - 1) x 5 = (5 x 4) - (5 x 1) = 20 + 5 = 15

 
Divisione
Il quoziente (q) fra un numero a ed un numero b e’ quel numero, se esiste, che soddisfa la seguente moltiplicazione:

b x q = a

La divisione e’ l’operazione che permette di calcolare il quoziente di due numeri e viene indicata in uno dei seguenti modi:

a e’ il dividendo, b il divisore.

In pratica, il risultato di una divisione (quoziente) indica quante volte una quantita’ e’ contenuta in un’altra. Per esempio,

10 : 2 = 5

2 e’ contenuto esattamente 5 volte in 10 ed infatti

divisore x quoziente = 2 x 5 = 10 (dividendo)

Possiamo anche dire quindi che la divisione e’ l’inverso della moltiplicazione. Generalmente, il divisore non e’ contenuto esattamente nel dividendo, ad esempio:

10 : 3 = 3

In questo caso il prodotto del divisore per il quoziente e’ minore del dividendo:

3 x 3 = 9

La differenza fra il dividendo ed il numero ottenuto rappresenta il resto della divisione:

10 - 9 = 1 (resto della divisione)

In generale, quindi, abbiamo che

(divisore x quoziente) + resto = dividendo

(3 x 3) + 1 = 10

Legge distributiva. La divisione di un numero per una somma o differenza puo’ essere fatta dividendo il numero per ogni termine della somma o differenza ed eseguendo quindi l’addizione o la sottrazione:

(5 + 10) : 5 = (5 : 5) + (10 : 5) = 1 + 2 = 3

 
Criteri di Divisibilita'
Quando il resto di una divisione e’ zero, si dice che il dividendo e’ divisibile per il divisore o che il dividendo e’ multiplo del divisore. Per esempio:

15 : 3 = 5

5 x 3 = 15 quindi il resto e‘ zero, allora 15 e’ divisible per 3 o detto in altro modo 15 e’ multiplo di 3. I numeri divisibili per 2 sono detti pari, mentre i numeri non divisibili per 2 sono detti dispari.

Esistono alcuni criteri per stabilire se un numero e’ divisibile per un altro che evitano di eseguire la divisione.

Tabella criteri di divisibilita’